Trigonometri (Materi 5)

Bukti:
Perhatikan gambar berikut!

Pembuktian Rumus Jumlah Sudut Cos

Titik koordinat A dan B di atas diperoleh berdasarkan fungsi sinus dan cosinus. Selanjutnya perhatikan titik M yang ditransformasi dengan besar sudut putar $\beta$ dan sudut pusat O dari titik A. Dan perhatikan titik N yang ditransformasi dengan besar sudut putar $- \beta$ dan sudut pusat O dari titik P. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah.

INGAT!!!

$cos (-\alpha) = cos \alpha$

$sin (-\alpha) = - sin \alpha$

Persamaan 1: Menghitung jarak P(1,0) ke M (cos $( \alpha + \beta)$ , sin $( \alpha + \beta)$ )

$\left| PM \right| = \sqrt{\left( x_{P} - x_{M} \right)^{2} + \left( y_{P} - y_{M} \right)^{2}}$

$\left| PM \right| = \sqrt{\left( 1 - cos \left( \alpha + \beta \right) \right)^{2} + \left( 0 - sin \left( \alpha + \beta \right) \right)^{2}}$

$\left| PM \right| = \sqrt{1 - 2cos \left( \alpha + \beta \right) + cos^{2} \left( \alpha + \beta \right) + sin^{2} \left( \alpha + \beta \right)}$

$\left| PM \right| = \sqrt{1 - 2cos \left( \alpha + \beta \right) + 1}$

$\left| PM \right| = \sqrt{2 - 2cos \left( \alpha + \beta \right)}$

Persamaan 2: Menghitung jarak A $(cos \alpha, sin \alpha)$ ke N $(cos \beta, -sin \beta)$

$\left| AN \right| = \sqrt{\left( x_{A} - x_{N} \right)^{2} + \left( y_{A} - y_{N} \right)^{2}}$

$\left| AN \right| = \sqrt{\left( cos \alpha - cos \beta \right)^{2} + \left( sin \alpha - (-sin \beta) \right)^{2}}$

$\left| AN \right| = \sqrt{\left( cos \alpha - cos \beta \right)^{2} + \left( sin \alpha + sin \beta \right)^{2}}$

$\left| AN \right| = \sqrt{cos^{2} \alpha - 2cos \alpha cos \beta + cos^{2} \beta + sin^{2} \alpha + 2sin \alpha sin \beta + sin^{2} \beta}$

$\left| AN \right| = \sqrt{cos^{2} \alpha + sin^{2} \alpha + cos^{2} \beta + sin^{2} \beta} + - 2cos \alpha cos \beta + 2sin \alpha sin \beta$

$\left| AN \right| = \sqrt{1 + 1 - 2cos \alpha cos \beta + 2sin \alpha sin \beta}$

$\left| AN \right| = \sqrt{2 - 2cos \alpha cos \beta + 2sin \alpha sin \beta}$

Secara geometri, persamaan 1 sama dengan persamaan 2, sehingga:

$\left| PM \right| = \left| AN \right|$

$\sqrt{2 - 2cos \left( \alpha + \beta \right)} = \sqrt{2 - 2cos \alpha cos \beta + 2sin \alpha sin \beta}$

$2 - 2cos \left( \alpha + \beta \right) = 2 - 2cos \alpha cos \beta + 2sin \alpha sin \beta$

$- 2cos \left( \alpha + \beta \right) = - 2cos \alpha cos \beta + 2sin \alpha sin \beta$

$cos \left( \alpha + \beta \right) = cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta$

Terbukti

Contoh
Tentukan nilai cos $75^{o}$ !
Pembahasan:

$cos \; 75^{o} = cos \left( 45^{o} + 30^{o} \right)$

$cos \; 75^{o} = cos \; 45^{o} \cdot cos \; 30^{o} - sin \; 45^{o} \cdot sin \; 30^{o}$

$cos \; 75^{o} = \frac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3} - \frac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}$

$cos \; 75^{o} = \frac{1}{4} \sqrt{6} - \frac{1}{4} \sqrt{2}$

$cos \; 75^{o} = \frac{1}{4} \left( \sqrt{6} - \sqrt{2} \right)$

2. Rumus Selisih Sudut Dua Cosinus

Pembuktian rumus di atas dapat diperoleh dengan memanfaatkan rumus jumlah sudut cosinus yang telah kita buktikan terlebih dahulu. Caranya adalah dengan mengubah sudut $\beta$ menjadi sudut $- \beta$ . Untuk lebih jelasnya lihat langkah pembuktian di bawah.

Bukti:

$cos \left( \alpha - \beta \right) = cos \left( \alpha + (- \beta) \right)$

$cos \left( \alpha - \beta \right) = cos \alpha \cdot cos (- \beta) - sin \alpha \cdot sin (- \beta)$

$cos \left( \alpha - \beta \right) = cos \alpha \cdot cos \beta - sin \alpha \cdot -sin \beta$

$cos \left( \alpha - \beta \right) = cos \alpha \; cos \beta + sin \alpha \; sin \beta$

Terbukti

Contoh
Tentukan nilai cos $75^{o}$ !
Pembahasan:

$cos \; 105^{o} = cos \left( 135^{o} - 30^{o} \right)$

$cos \; 105^{o} = cos \; 135^{o} \cdot cos \; 30^{o} - sin \; 135^{o} \cdot sin \; 30^{o}$

$cos \; 105^{o} = -\frac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3} - \frac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}$

$cos \; 105^{o} = -\frac{1}{4} \sqrt{6} - \frac{1}{4} \sqrt{2}$

$cos \; 105^{o} = -\frac{1}{4} \left( \sqrt{6} - \sqrt{2} \right)$

Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Sinus

1. Rumus Jumlah Dua Sudut Sinus

Bukti:

$sin \left( \alpha + \beta \right) = cos \left( 90^{o} - (\alpha + \beta) \right)$

$sin \left( \alpha + \beta \right) = cos \left( (90^{o} - \alpha) - \beta \right)$

$sin \left( \alpha + \beta \right) = cos (90^{o} - \alpha) \cdot cos \beta + sin (90^{o} - \alpha) \cdot sin \beta$

$sin \left( \alpha + \beta \right) = sin \alpha \; cos \beta + cos \alpha \; sin \beta$

Contoh
Tentukan nilai dari $sin 105^{o} cos 75^{o} + cos 105^{o} sin 75^{o}$ !
Pembahasan:

$sin 105^{o} cos 75^{o} - cos 105^{o} sin 75^{o} = sin (105^{o} + 75^{o}$

$sin 105^{o} cos 75^{o} - cos 105^{o} sin 75^{o} = sin (180^{o}) = 0$

2. Rumus Selisih Dua Sudut Sinus

Bukti:

$sin \left( \alpha - \beta \right) = sin \left( \alpha + (- \beta) \right)$

$sin \left( \alpha - \beta \right) = cos \left( 90^{o} - (\alpha + (- \beta)) \right)$

$sin \left( \alpha - \beta \right) = cos \left( (90^{o} - \alpha) + \beta) \right)$

$sin \left( \alpha - \beta \right) = cos (90^{o} - \alpha) \cdot cos \beta - sin (90^{o} - \alpha) \cdot sin \beta$

$sin \left( \alpha - \beta \right) = sin \; \alpha \; cos \; \beta - cos \; \alpha \; sin \; \beta$

Contoh
Tentukan nilai dari $sin 105^{o} cos 75^{o} + cos 105^{o} sin 75^{o}$ !
Pembahasan:

$sin 105^{o} cos 75^{o} - cos 105^{o} sin 75^{o} = sin (105^{o} - 75^{o}$

$sin 105^{o} cos 75^{o} - cos 105^{o} sin 75^{o} = sin (30^{o}) = \frac{1}{2}$

Rumus Jumlah dan Selisih Sudut Tangen

1. Rumus Jumlah Sudut Tangen

Bukti:

$tan(\alpha + \beta ) = \frac{sin(\alpha + \beta)}{cos(\alpha + \beta)}$

$tan(\alpha + \beta ) = \frac{sin \alpha \; cos \beta + cos \alpha \; sin \beta}{cos \alpha \; cos \beta - sin \alpha \; sin \beta}$

$tan(\alpha + \beta ) = \frac{\frac{sin \alpha}{cos \alpha} \cdot cos \alpha \; cos \beta + cos \alpha \; \frac{sin \beta}{cos \beta} \cdot cos \beta}{cos \alpha \; cos \beta - \frac{sin \alpha}{cos \alpha} \cdot cos \alpha \; \frac{sin \beta}{cos \beta} \cdot cos \beta}$

$tan(\alpha + \beta ) = \frac{tan \alpha \; cos \alpha \; cos \beta + cos \alpha \; tan \beta \; cos \beta}{cos \alpha \; cos \beta - tan \alpha \; cos \alpha \; tan \beta \; cos \beta }$

$tan(\alpha + \beta ) = \frac{cos \alpha \; cos \beta \left( tan \alpha + tan \beta \right)}{cos \alpha \; cos \beta \left( 1 - tan \alpha \; tan \beta \right)}$

$tan(\alpha + \beta ) = \frac{tan \alpha + tan \beta }{ 1 - tan \alpha \; tan \beta}$

Terbukti

Contoh
Diketahui:

$tan \; \beta \; = \; \frac{5}{4}$

$\left( \alpha + \beta \right) = 315^{o}$

Maka nilai $tan\; \alpha$ adalah ….

$A. \; \; \; 9$

$B. \; \; \; \frac{9}{2}$

$C. \; \; \; 3$

$D. \; \; \; \frac{9}{4}$

$E. \; \; \; \frac{9}{7}$

Pembahasan:

$tan \; (\alpha + \beta) = \frac{tan \; \alpha + tan \; \beta}{1-tan \; \alpha tan \; \beta}$

$tan \; 315^{o} = \frac{tan \; \alpha + \frac{5}{4}}{1- tan \; \alpha \cdot \frac{5}{4}}$

$-1 = \frac{tan \; \alpha + \frac{5}{4}}{1- \frac{5}{4}tan \; \alpha}$

$-1\left(1- \frac{5}{4}tan \; \alpha \right) = tan \; \alpha + \frac{5}{4}$

$-1+ \frac{5}{4}tan \; \alpha = tan \; \alpha + \frac{5}{4}$

$\frac{5}{4}tan \; \alpha - tan \; \alpha = \frac{5}{4} + 1$

$\frac{1}{4}tan \; \alpha = \frac{9}{4} \rightarrow tan \; \alpha = 9$

Jawaban: A

2. Rumus Selisih Sudut Tangen

Bukti:

Dengan menggunakan rumus jumlah sudut tangen yang telah di buktikan sebelumnya, pembuktian rumus selisih sudut tangen dapat diperoleh dengan mengganti sudut $\beta$ menjadi $- \beta$ .

$tan(\alpha - \beta ) = tan(\alpha + (-\beta))$