Trigonometri (Materi 4)
Rumus Trigonometri Sudut Rangkap
Dalam materi trigonometri, selain ada rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk menghitung nilai suatu sudut yang bukan sudut istimewa terdapat rumus trigonometri sudut rangkap. Seperti halnya rumus jumlah dan selisih dua sudut, rumus sudut rangkap diguanakan untuk menentukan nilai fungsi trigonometri untuk suatu sudut tanpa alat bantu hitung seperti kalkulator atau tabel. Besar sudut yang dicari dengan sudut rangkap pada umumnya bukan merupakan sudut istimewa trigonometri.Besar sudut yang termasuk dalam sudut istimewa meliputi 30o, 45o, 60o, 90o, dan beberapa sudut istimewa lainnya. Sedangkan contoh sudut yang bukan merupakan sudut istimewa adalah 75o, 105o, dan lain sebagainya. Rumus trigonometri sudut rangkap meliputi 3 persamaan fungsi trigonometri yang meliputi fungsi sin, cos, dan tan sudut rangkap yang sesuai persamaan di bawah.
Bagaimanakah penggunaan dari rumus fungsi trigonometri sudut rangkap? Sobat Belajar Matematika dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.
Tujuan Penggunaan Sudut Rangkap
Rumus sudut rangkap dapat digunakan untuk mempermudah perhitungan dan meminimalkan hafalan dalam mengingat besar nilai fungsi trigonometri. Sebagai contoh, diketahui bahwa sudut 60o merupakan sudut istimewa yang sobat Belajar Matematika ketahui besar nilai fungsinya yaitu sin 60o = 1/2√3 dan cos 60o = 1/2. Melalui rumus sudut rangkap trigonometri, sobat dapat mengetahui nilai fungsi trigonometri untuk sudut 120o.Sin 120o = Sin(2 × 60o)
Cos 120o = Cos(2 × 60o)
Rumus Sudut Rangkap Fungsi Sinus
Persamaan sudut rangkap untuk fungsi sinus dapat dinyatakan melalui sebuah persamaan, yaitu sin 2 alfa sama dengan 2 dikali sin alfa dikali cos alfa. Rumusnya secaea matematis dinyatakana seperti pada persamaan berikut.
Perhatikan bagaimana pembuktian atau asal usul persamaan rumus diatas
Bukti:
sin 2α = sin (α + α)
sin 2α = sin α × cos α + cos α × sin α
sin 2α = sin α × cos α + sin α × cos α
sin 2α = 2 × sin α × cos α [Terbukti]
Contoh 1:
Tentukan nilai dari sin 15o × cos 15o!
Pembahasan:
Diketahui bahwa nilai sin 30o = 1/2, nilai sin 15o × cos 15o dapat diperoleh seperti yang ditunjukkan cara berikut.
sin 30o = 2 × sin α × cos α
sin (2 × 15o) = 2 × sin 15o × cos 15o
1/2 = 2 × sin 15o × cos 15o
sin 15o × cos 15o = 1/2 : 2
sin 15o × cos 15o = 1/2 × 1/2 = 1/4
Rumus Sudut Rangkap Fungsi Cosinus
Ada tiga rumus yang dapat digunakan untuk menentukan nilai sudut rangkap cosinus. Ketiga rumus tersebut secara matematis dinyatakan seperti pada persamaan berikut.
Bukti persamaan 1:
cos 2α = cos(α + α)
cos 2α = cos α × cos α – sin α × sin α
cos 2α = cos2α – sin2α
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa persamaan kedua dan ketiga adalah persamaan yang benar. Sebelum membuktikan kedua rumus lainnya, ingat kembali rumus identitas trigonometri yaitu
Bukti persamaan kedua:
cos 2α = cos2α – sin2α
cos 2α = (1 – sin2α) – sin2α
cos 2α = 1 – sin2α – sin2α
cos 2α = 1 – 2×sin2α
Bukti persamaan ketiga:
cos 2α = cos2α – sin2α
cos 2α = cos2α – (1 – cos2α)
cos 2α = cos2α – 1 + cos2α
cos 2α = cos2α + cos2α – 1
cos 2α = 2 cos2α – 1
Contoh 2:
Tentukan nilai fungsi cosinus untuk sudut 120o dengan memanfaatkan rumus pada sudut rangkap!
Pembahasan:
cos 120o = cos ( 2 × 60o)
cos 120o = cos260o – sin260o
cos 120o = (1/2)2 – (1/2√3)2
cos 120o = 1/4 – 3/4 = –2/4
cos 120o = –2/4
cos 120o = –1/2
Rumus Sudut Rangkap Fungsi Tangen
Terdapat sebuah persamaan yang menyatakan persamaan sudut rangkap fungsi tangen yang dinyatakan seperti rumus berikut.
Dari mana persamaan di atas diperoleh? perhatikan pembuktian berikut.
Bukti:
tan 2α = tan(α + α)
tan 2α = (tan α + tan α)/(1 – tan α × tan α)
tan 2α = (2 tan α)/(1– tan2α) [Terbukti]
Contoh 3
Jika diketahui nilai tan α = 2/3 dan sudut α merupakan sudut lancip maka tentukan nilai tan 2α!
Pembahasan:
Komentar
Posting Komentar